Sabtu, 12 April 2014

BAB 14 LOGIKA

- PENGERTIAN LOGIKA

PENGERTIAN LOGIKA SECARA ETIMOLOGI.
Logika diturunkan dari kata sifat logike, bahasa Yunani, yang berhubungan dengan kata logos,yang artinya pikiran atau perkatan sebagai pernyataan dari pikiran. Surajiyo, Sugeng Astanto, Sri Andiani (tt: 3)
Logika adalah berasal dari kata logos yang berarti perkataan atau sabda. Istilah lainnya yang digunakan sebagai gantinya adalah mantiq, kata Arab yang diambil dari kata kerja nataqa yang berarti berkata atau berucap. Mundiri, (1994 :1)

PENGERTIAN LOGIKA MENURUT ISTILAH
Logika adalah ilmu pengetahuan dan keterampilan berpikir lurus. Tt, (1999 :71)
Logika adalah suatau pertimbangan akal atau pikiran yang diatur lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Jan Hendrik Rapar, (1996 : 5)
Logika adalah ilmu dan kecakapan menalar, berpikir dengan tepat.W. Poespoprodjo, Ek. T. Gilarso. (2006: 13)
Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan nenalar. Soekadijo, (1983-1994: 3)
Aristoteles : logika adalahajaran tentang berpikir yang secara ilmiah membicarakan bentuk pikiran itu sendiri dan hukum-hukum yagn menguasai pikiran.(Harun, 1980) Surajiyo, Sugeng Astanto, Sri Andiani(…..:10)
William Alston : logika adalah studi tentang penyimpulan, secara lebih ceramat usaha untuk mennetapkan ukuran-ukuran guna memisahkan penyimpulan yang sah dan tidak sah.Surajiyo, Sugeng Astanto, Sri Andiani(…..: 9)

LOGIKA DAN BAHASA
Bahasa pada dasarnya merupakan verbal dari pikiran manusia. Kanisius (anggota IKAPI, (1999 :25) Bahasa adalah alat untuk menyampaikan isi hati atau pikiran seseorang. Hubungan bahasa dengan logika sangat erat sekali karena keduanya saling berhubungan atau saling mengisi. Karena dengan bahasa orang lain akan mengerti apa yang kita pikirkan atau isi hati kita. Surajiyo, Sugeng Astanto, Sri Andiani (tt: 3).
Karena untuk mengungpakan hasil pemikiran itu dapat di ketahuin orang lain atu dapat nampak dalam permukaan dikala pemikiran itu di katakan, di cetuskan dengan kata atau rentetan kata. Poedjawijatna, (2000 : 16)
Ada beberapa bahsa yang kita kenal.
Bahsa verbal
Bahasa non verbal
bahasa sastra
Bahasa verbal adalah bahasa yang di ucapakan dalam lisan maupun tertuang dalam tulisan
Bahasa non verbal adalah basa yang diungkapkan dengan gerak tubuh. Atau dikenal dengan bahasa tubuh.
Tapi yang digunakan dalam ligika adalah bahasa verbal karena mudah dipahami oleh semua orang. Sebab logika mempelajari bahasa yang mudah dipahami manusia pada umumnya.
Mengapa bahsa sastra tidak masuk dalam ilmu logika? Karena bahasa sastra tidak menggunakan gramatikal bahsa yang benar. Karena logika mempelajari bahasa yang menggunakan gramatikal yang jelas. Gramatikal bahsa adalah ada subjek dan predika (S-P)

RUANG LINGKUP LOGIKA

Ruang lingup logika meliputi:
penalran
term (kata)
proposisi (kalimat)
konglusi (kesimpulan)
Moh. Ali Aziz.

MACAM-MACAM LOGIKA

MACAM-MACAM LOGIKA MENURUT LIANG GIE
Logika metafisis
Logika simbolik
Logika exprimental
Logika deduktif
Logika induktif
The Liang Gie, (1977 : 16)

MACAM-MACAM LOGIKA MENURUT JUJUN S.SURIASUMANTRI
Logika induktif pernyataan hal khusus ke yang umum
contoh: kucing punya mata
macan pempunyai mata
gajah mempunyai mata
jada semua binatang mempunyai mata.
Logika deduktif adalah pernyataan hal yang umum ke yang khusus.
Contoh: semua manusia mempunyai mata
Nurdin adalah manusia
Jadi Nurdin mempunya mat

Jujun S. Surasumantri, (1999 : 46)

DAFTAR PUSTAKA

Soekadijo, R.G, LOGIKA DASAR tradisional, simbolik, dan induktif, PT Gramedia Pustaka Utama, jakarta, 1991
Poedjawijata, R. I, LOGIKA FILSAFAT BERPIKIR, PT Rineka Cipta, Jakarta, 2000
tt, DASAR-DASAR LOGIKA, Kanisius, Yogyakarta, 1999
S. Suriasumantri Jujun, FILSAFAT ILMU Sebuah Pengantar populer, Pustaka Sinar Harapan, 1999
Liang Gie, The, Penj Ali Mudgorfir, SUATU KONSEP KE ARAH PENERTIBAN BIDANG FILSAFAT, Karya Kencana, Yogyakarta, 1997
Mundiri, LOGIKA, PT Raja Grafindo Persada, Jakarta, 1994
Poespoprodjo, W, Gilarso, T . EK, LOGIKA ILMU MENALAR Dasar-dasar berpikir tertib, Logis, Kritis, Analitis, Dialektis, Pustaka Grafika, 2006
Surajiyo, Astanto Sugeng, Andiani Sri, DASAR-DASAR LOGIKA, Bumi Aksara, tt
Hendrik Rapar, Jan, PENGANTAR LOGIKA Asas-asas Penalaran Sistematis, Kanisius, 1996

sumber : http://alqonews.wordpress.com/2010/08/20/pengertian-logika/

BAB 13 PROPOSISI

Proposisi adalah pernyataan tentang hubungan yang terdapat di antara subjek dan predikat. Dengan kata lain, proposisi adalah pernyataan yang lengkap dalam bentuk subjek-predikat atau term-term yang membentuk kalimat. Kaliimat Tanya,kalimat perintah, kalimat harapan , dan kalimat inversi tidak dapa disebut proposisi . Hanya kalimat berita yang netral yang dapat disebut proposisi. Tetapi kalimat-kalimat itu dapat dijadikan proposisi apabila diubah bentuknya menjadi kalimat berita yang netral.

Jenis-Jenis Proposisi
Proposisi dapat dipandang dari 4 kriteria, yaitu berdasarkan :
1. Berdasarkan bentuk
2. Berdasarkan sifat
3. Berdasarkan kualitas
4. Berdasarkan kuantitas

Gbr1. Skema Jenis-Jenis Proposisi
Berdasarkan bentuk, proposisi dapat dibagi menjadi 2, yaitu :
a) Tunggal adalah proposisi yang terdiri dari satu subjek dan satu predikat atau hanya mengandung satu pernyataan.
Contoh :
• Semua petani harus bekerja keras.
• Setiap pemuda adalah calon pemimpin.
b) Majemuk atau jamak adalah proposisi yang terdiri dari satu subjek dan lebih dari satu predikat.
Contoh :
• Semua petani harus bekerja keras dan hemat.
• Paman bernyanyi dan menari.
Berdasarkan sifat, proporsis dapat dibagi ke dalam 2 jenis, yaitu:
a) Kategorial adalah proposisi yang hubungan antara subjek dan predikatnya tidak membutuhkan / memerlukan syarat apapun.
Contoh:
• Semua kursi di ruangan ini pasti berwarna coklat.
• Semua daun pasti berwarna hijau.
b) Kondisional adalah proposisi yang membutuhkan syarat tertentu di dalam hubungan subjek dan predikatnya. Proposisi dapat dibedakan ke dalam 2 jenis, yaitu: proposisi kondisional hipotesis dan disjungtif.
Contoh proposisi kondisional:
• jika hari mendung maka akan turun hujan
Contoh proposisi kondisional hipotesis:
• Jika harga BBM turun maka rakyat akan bergembira.
Contoh proposisi kondisional disjungtif:
• Christiano ronaldo pemain bola atau bintang iklan.
Berdasarkan kualitas, proposisi juga dapat dibedakan menjadi 2 jenis, yaitu:
a) Positif(afirmatif) adalah proposisi yang membenarkan adanya persesuaian hubungan antar subjek dan predikat.
Contoh:
• Semua dokter adalah orang pintar.
• Sebagian manusia adalah bersifat sosial.
b) Negatif adalah proposisi yang menyatakan bahawa antara subjek dan predikat tidak mempunyai hubungan.
Contoh:
• Semua harimau bukanlah singa.
• Tidak ada seorang lelaki pun yang mengenakan rok.
Berdasarkan kuantitas., proposisi dapat dibedakan ke dalam 2 jenis, yaitu:
a) Umum adalah predikat proposisi membenarkan atau mengingkari seluruh subjek.
Contoh:
• Semua gajah bukanlah kera.
• Tidak seekor gajah pun adalah kera.
b) Khusus adalah predikat proposisi hanya membenarkan atau mengingkari sebagian subjeknya.
Contoh:
• Sebagian mahasiswa gemar olahraga.
• Tidak semua mahasiswa pandai bernyanyi.

Sumber : http://sitompulke17.blogspot.com/2010/05/proposisi.html

BAB 12 FUNGSI

Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan(dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagaikodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

$f : A \rightarrow B$

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

$x \in A$

$f : x \rightarrow x^2$

atau

$f(x) =\, x^2$

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Pada diagram di atas, X merupakan domain dari fungsi f, Y merupakan kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil

Sifat-sifat fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ $\in A$ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂). Dengan kata lain, bila a₁ = a₂ maka f(a₁) sama dengan f(a₂).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang bdalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

sumber:
http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_%28matematika%29

BAB 11 RELASI

Relasi, dalam matematika, adalah hubungan antara dua elemen himpunan. Hubungan ini bersifat abstrak, dan tidak perlu memiliki arti apapun baik secara konkrit maupun secara matematis.

Definisi

Jika terdapat himpunan A dan himpunan B (A bisa sama dengan B), maka relasi R dari A keB adalah subhimpunan dari A×B.

$R_{AB} \subseteq A \times B$

Relasi dan fungsi proposisi

Sebuah relasi dapat dikaitkan dengan sebuah fungsi proposisi atau kalimat terbuka yang himpunan penyelesaiannya tidak lain adalah relasi tersebut.
Sebagai contoh, pandang himpunan B = { apel, jeruk, mangga, pisang } dengan himpunanW = { hijau, kuning, orange}. Suatu relasi R dari A ke B didefinisikan sebagai R = {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}. Terdapat fungsi proposisiw(x, y) = "x berwarna y", yang himpunan penyelesaiannya adalah {(apel, hijau), (jeruk, orange), (mangga, hijau), (pisang, kuning)}, yang tidak lain adalah relasi R.

Relasi A×A

Sebuah relasi A×A, yaitu relasi dari himpunan A kepada A sendiri, dapat memiliki sifat-sifat berikut:

Refleksif
Irefleksif
Simetrik
Anti-simetrik
Transitif

Kita menyebut relasi R dari A kepada A sebagai relasi R dalam A.

Relasi Refleksif

Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika setiap elemen A berhubungan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R$

atau

$\forall_{a \in A}\quad a R a$

Contoh relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan xdan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.

Relasi Irefleksif

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat irefleksif, jika setiap elemen A tidak berhubungan dengan dirinya sendiri.

$\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R$

atau

$\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)$

Contoh relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.

Relasi Simetrik

Relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetrik, jika setiap pasangan anggota Aberhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a$

Sebuah relasi “

x + y

genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi. Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.

Relasi Anti-simetrik

Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi adan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))$

Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.

$\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b$

atau

$\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b$

Relasi $\leq$ bersifat anti-simetrik, karena $5 \leq 6$ mengakibatkan $\lnot (6 \leq 5)$ . Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku $p \leq q$ dan $q \leq p$ berarti

p = q

Relasi Transitif

Sebuah relasi disebut transitif jika memiliki sifat, jika a berhubungan dengan b, dan bberhubungan dengan c, maka a berhubungan dengan c secara langsung.

$(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R$

atau

$\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}$

Sebagai contoh, relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.

Relasi khusus

Relasi Ekivalen

Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekivalen jika relasi tersebut bersifat:

Refleksif
Simetrik, dan
Transitif

Relasi ekuivalen memiliki hubungan erat dengan partisi, yang merupakan alasan mengapa partisi dari sebuah himpunan disebut kelas ekivalen atau kelas kesetaraan.

Orde Parsial

Orde parsial adalah relasi yang bersifat:

Refleksif
Anti-simetrik, dan
Transitif

Fungsi (matematika)

Notasi

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

$f : A \rightarrow B$

$x \in A$

$f : x \rightarrow x^2$

atau

Fungsi sebagai relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain dan Kodomain

Domain adalah daerah asal, kodomain adalah daerah kawan, sedangkan range adalah daerah hasil